神经网络(五)——循环神经网络（Recurrent Neural Network，RNN）

循环神经网络（Recurrent Neural Network，RNN）是一类用于处理序列数据的神经网络，它在时间步上有循环连接，能够捕捉序列中的时间依赖关系。RNN广泛应用于自然语言处理（NLP）、时间序列预测、语音识别等领域。

一、序列模型

1.1 自回归模型

对于股票，用x_t表示价格，即在时间步（time step）t ∈ ℤ⁺时，观察到的价格x_t。t对于本文中的序列通常是离散的，并在整数或其子集上变化。在t日的股票价格，通过以下途径预测x_t：

x_t ∼ P(x_t ∣ x_t − 1, …, x₁).

为了实现这个预测，可以使用回归模型，有一个主要问题：输入数据的数量，输入x_t − 1, …, x₁本身因t而异。输入数据的数量这个数字将会随着遇到的数据量的增加而增加，因此需要一个近似方法来使这个计算变得容易处理。

第一种策略，假设在现实情况下相当长的序列x_t − 1, …, x₁可能是不必要的，因此只需要满足某个长度为τ的时间跨度，即使用观测序列x_t − 1, …, x_t − τ。当下获得的最直接的好处就是参数的数量总是不变的，至少在t > τ时如此，这就能够训练一个上面提及的深度网络。这种模型被称为自回归模型（autoregressive models），因为它们是对自己执行回归。

第二种策略，如图所示，是保留一些对过去观测的总结h_t，并且同时更新预测x̂_t和总结h_t。这就产生了基于x̂_t = P(x_t ∣ h_t)估计x_t，以及公式h_t = g(h_t − 1, x_t − 1)更新的模型。由于h_t从未被观测到，这类模型也被称为隐变量自回归模型（latent autoregressive models）。

整个序列的估计值可以通过以下的方式获得：

如果处理的是离散的对象（如单词），而不是连续的数字，则上述的考虑仍然有效。唯一的差别是，对于离散的对象，需要使用分类器而不是回归模型来估计P(x_t ∣ x_t − 1, …, x₁)。

1.2 马尔可夫模型

在自回归模型的近似法中，使用x_t − 1, …, x_t − τ而不是x_t − 1, …, x₁来估计x_t。只要这种是近似精确的，就可以说序列满足马尔可夫条件（Markov condition）。特别是，如果τ = 1，得到一个一阶马尔可夫模型（first-order Markov model），P(x)由下式给出：

$当$

当假设x_t仅是离散值时，使用动态规划可以沿着马尔可夫链精确地计算结果。可以高效地计算P(x_t + 1 ∣ x_t − 1)：

利用这一事实，只需要考虑过去观察中的一个非常短的历史：P(x_t + 1 ∣ x_t, x_t − 1) = P(x_t + 1 ∣ x_t)。

1.3 因果关系

基于条件概率公式将P(x₁, …, x_T)倒序展开：

如果基于一个马尔可夫模型，还可以得到一个反向的条件概率分布。然而，在许多情况下，数据存在一个自然的方向，即在时间上是前进的。很明显，未来的事件不能影响过去。因此，如果改变x_t，可能会影响未来发生的事情x_t + 1，但不能反过来。也就是说，如果改变x_t，基于过去事件得到的分布不会改变。因此，解释P(x_t + 1 ∣ x_t)应该比解释P(x_t ∣ x_t + 1)更容易。

二、语言模型

2.1 文本预处理

2.1.1 加载数据

时光机器中加载文本。有30000多个单词，下面的函数(将数据集读取到由多条文本行组成的列表中)，其中每条文本行都是一个字符串。

import collections
import re
from d2l import torch as d2l

d2l.DATA_HUB['time_machine'] = (d2l.DATA_URL + 'timemachine.txt',
                                '090b5e7e70c295757f55df93cb0a180b9691891a')

def read_time_machine():
    """将时间机器数据集加载到文本行的列表中"""
    with open(d2l.download('time_machine'), 'r') as f:
        lines = f.readlines()
    return [re.sub('[^A-Za-z]+', ' ', line).strip().lower() for line in lines]

lines = read_time_machine()

2.1.2 词元化

下面的tokenize函数将文本行列表（lines）作为输入，列表中的每个元素是一个文本序列（如一条文本行）。每个文本序列又被拆分成一个词元列表，词元（token）是文本的基本单位。最后，返回一个由词元列表组成的列表，其中的每个词元都是一个字符串（string）。

def tokenize(lines, token='word'):  #@save
    """将文本行拆分为单词或字符词元"""
    if token == 'word':
        return [line.split() for line in lines]
    elif token == 'char':
        return [list(line) for line in lines]
    else:
        print('错误：未知词元类型：' + token)学习语言模型

tokens = tokenize(lines)
for i in range(11):
    print(tokens[i])

['the', 'time', 'machine', 'by', 'h', 'g', 'wells']
[]
[]
[]
[]
['i']
[]
[]
['the', 'time', 'traveller', 'for', 'so', 'it', 'will', 'be', 'convenient', 'to', 'speak', 'of', 'him']
['was', 'expounding', 'a', 'recondite', 'matter', 'to', 'us', 'his', 'grey', 'eyes', 'shone', 'and']
['twinkled', 'and', 'his', 'usually', 'pale', 'face', 'was', 'flushed', 'and', 'animated', 'the']

2.1.3 词表

词元的类型是字符串，而模型需要的输入是数字，因此这种类型不方便模型使用。现在，构建一个字典，通常也叫做词表（vocabulary），用来将字符串类型的词元映射到从0开始的数字索引中。先将训练集中的所有文档合并在一起，对它们的唯一词元进行统计，得到的统计结果称之为语料（corpus）。然后根据每个唯一词元的出现频率，为其分配一个数字索引。很少出现的词元通常被移除，这可以降低复杂性。另外，语料库中不存在或已删除的任何词元都将映射到一个特定的未知词元“<unk>”。可以选择增加一个列表，用于保存那些被保留的词元，例如：填充词元（“<pad>”）；序列开始词元（“<bos>”）；序列结束词元（“<eos>”）。

class Vocab:
    """文本词表"""
    def __init__(self, tokens=None, min_freq=0, reserved_tokens=None):
        if tokens is None:
            tokens = []
        if reserved_tokens is None:
            reserved_tokens = []
        # 按出现频率排序
        counter = count_corpus(tokens)
        self._token_freqs = sorted(counter.items(), key=lambda x: x[1],
                                   reverse=True)
        # 未知词元的索引为0
        self.idx_to_token = ['<unk>'] + reserved_tokens
        self.token_to_idx = {token: idx
                             for idx, token in enumerate(self.idx_to_token)}
        for token, freq in self._token_freqs:
            if freq < min_freq:
                break
            if token not in self.token_to_idx:
                self.idx_to_token.append(token)
                self.token_to_idx[token] = len(self.idx_to_token) - 1

    def __len__(self):
        return len(self.idx_to_token)

    def __getitem__(self, tokens):
        if not isinstance(tokens, (list, tuple)):
            return self.token_to_idx.get(tokens, self.unk)
        return [self.__getitem__(token) for token in tokens]

    def to_tokens(self, indices):
        if not isinstance(indices, (list, tuple)):
            return self.idx_to_token[indices]
        return [self.idx_to_token[index] for index in indices]

    @property
    def unk(self):  # 未知词元的索引为0
        return 0

    @property
    def token_freqs(self):
        return self._token_freqs

def count_corpus(tokens):  #@save
    """统计词元的频率"""
    # 这里的tokens是1D列表或2D列表
    if len(tokens) == 0 or isinstance(tokens[0], list):
        # 将词元列表展平成一个列表
        tokens = [token for line in tokens for token in line]
    return collections.Counter(tokens)

使用时光机器数据集作为语料库来构建词表，然后打印前几个高频词元及其索引。

1 2	`vocab = Vocab(tokens) print(list(vocab.token_to_idx.items())[:10])`

1	`[('<unk>', 0), ('the', 1), ('i', 2), ('and', 3), ('of', 4), ('a', 5), ('to', 6), ('was', 7), ('in', 8), ('that', 9)]`

将每一条文本行转换成一个数字索引列表

1
2
3

for i in [0, 10]:
    print('文本:', tokens[i])
    print('索引:', vocab[tokens[i]])

文本: ['the', 'time', 'machine', 'by', 'h', 'g', 'wells']
索引: [1, 19, 50, 40, 2183, 2184, 400]
文本: ['twinkled', 'and', 'his', 'usually', 'pale', 'face', 'was', 'flushed', 'and', 'animated', 'the']
索引: [2186, 3, 25, 1044, 362, 113, 7, 1421, 3, 1045, 1]

该函数返回corpus（词元索引列表）和vocab（时光机器语料库的词表）。

def load_corpus_time_machine(max_tokens=-1):  #@save
    """返回时光机器数据集的词元索引列表和词表"""
    lines = read_time_machine()
    tokens = tokenize(lines, 'char')
    vocab = Vocab(tokens)
    # 因为时光机器数据集中的每个文本行不一定是一个句子或一个段落，
    # 所以将所有文本行展平到一个列表中
    corpus = [vocab[token] for line in tokens for token in line]
    if max_tokens > 0:
        corpus = corpus[:max_tokens]
    return corpus, vocab

corpus, vocab = load_corpus_time_machine()
len(corpus), len(vocab)

1	`(170580, 28)`

2.2 学习语言模型

假设在单词级别对文本数据进行词元化，依据自回归中对序列模型的分析，从基本概率规则开始：

例如，包含了四个单词的一个文本序列的概率是：

P(deep, learning, is, fun) = P(deep)P(learning ∣ deep)P(is ∣ deep, learning)P(fun ∣ deep, learning, is).

为了训练语言模型，需要计算单词的概率，以及给定前面几个单词后出现某个单词的条件概率。这些概率本质上就是语言模型的参数。

假设训练数据集是一个大型的文本语料库。训练数据集中词的概率可以根据给定词的相对词频来计算。例如，可以将估计值P̂(deep)计算为任何以单词“deep”开头的句子的概率。一种方法是统计单词“deep”在数据集中的出现次数，然后将其除以整个语料库中的单词总数。这种方法效果不错，特别是对于频繁出现的单词。接下来，可以尝试估计

其中n(x)和n(x, x^′)分别是单个单词和连续单词对的出现次数。不幸的是，由于连续单词对“deep learning”的出现频率要低得多，所以估计这类单词正确的概率要困难得多。特别是对于一些不常见的单词组合，要想找到足够的出现次数来获得准确的估计可能都不容易。而对于三个或者更多的单词组合，情况会变得更糟。许多合理的三个单词组合可能是存在的，但是在数据集中却找不到。除非提供某种解决方案，来将这些单词组合指定为非零计数，否则将无法在语言模型中使用它们。如果数据集很小，或者单词非常罕见，那么这类单词出现一次的机会可能都找不到。

一种常见的策略是执行某种形式的拉普拉斯平滑（Laplace smoothing），具体方法是在所有计数中添加一个小常量。用n表示训练集中的单词总数，用m表示唯一单词的数量。此解决方案有助于处理单元素问题，例如通过：

其中，ϵ₁, ϵ₂和ϵ₃是超参数。以ϵ₁为例：当ϵ₁ = 0时，不应用平滑；当ϵ₁接近正无穷大时，P̂(x)接近均匀概率分布1/m。

然而，这样的模型很容易变得无效，原因如下：首先，需要存储所有的计数；其次，这完全忽略了单词的意思。例如，“猫”（cat）和“猫科动物”（feline）可能出现在相关的上下文中，但是想根据上下文调整这类模型其实是相当困难的。最后，长单词序列大部分是没出现过的，因此一个模型如果只是简单地统计先前“看到”的单词序列频率，那么模型面对这种问题肯定是表现不佳的。

2.3 马尔可夫模型与n元语法

在讨论包含深度学习的解决方案之前，我们需要了解更多的概念和术语。回想一下在序列模型中对马尔可夫模型的讨论，并且将其应用于语言建模。如果P(x_t + 1 ∣ x_t, …, x₁) = P(x_t + 1 ∣ x_t)，则序列上的分布满足一阶马尔可夫性质。阶数越高，对应的依赖关系就越长。这种性质推导出了许多可以应用于序列建模的近似公式：

通常，涉及一个、两个和三个变量的概率公式分别被称为一元语法（unigram）、二元语法（bigram）和三元语法（trigram）模型。

2.4 自然语言统计

使用时光机器数据集构建的词表，打印前 10个最常用的（频率最高的）单词。

# 因为每个文本行不一定是一个句子或一个段落，因此我们把所有文本行拼接到一起
corpus = [token for line in tokens for token in line]
vocab = d2l.Vocab(corpus)
vocab.token_freqs[:10]

[('the', 2261),
 ('i', 1267),
 ('and', 1245),
 ('of', 1155),
 ('a', 816),
 ('to', 695),
 ('was', 552),
 ('in', 541),
 ('that', 443),
 ('my', 440)]

(出现次数)看起并没有太大作用的词，这些词通常(被称为停用词)（stop words），因此可以被过滤掉。尽管如此，它们本身仍然是有意义的，仍然会在模型中使用它们。此外，还有个明显的问题是词频衰减的速度相当地快。例如，最常用单词的词频对比，第10个还不到第1个的1/5。为了更好地理解，可以[画出的词频图]：

1
2
3

freqs = [freq for token, freq in vocab.token_freqs]
d2l.plot(freqs, xlabel='token: x', ylabel='frequency: n(x)',
         xscale='log', yscale='log')

通过此图可以发现：词频以一种明确的方式迅速衰减。将前几个单词作为例外消除后，剩余的所有单词大致遵循双对数坐标图上的一条直线。这意味着单词的频率满足齐普夫定律（Zipf’s law），即第i个最常用单词的频率n_i为：

等价于

log n_i = −αlog i + c,

其中α是刻画分布的指数，c是常数。这表明想要通过计数统计和平滑来建模单词是不可行的，因为这样建模的结果会大大高估尾部单词的频率，也就是所谓的不常用单词。那么[其他的词元组合，比如二元语法、三元语法等等，又会如何呢？]接下来看看二元语法的频率是否与一元语法的频率表现出相同的行为方式。

1
2
3

bigram_tokens = [pair for pair in zip(corpus[:-1], corpus[1:])]
bigram_vocab = d2l.Vocab(bigram_tokens)
bigram_vocab.token_freqs[:10]

[(('of', 'the'), 309),
 (('in', 'the'), 169),
 (('i', 'had'), 130),
 (('i', 'was'), 112),
 (('and', 'the'), 109),
 (('the', 'time'), 102),
 (('it', 'was'), 99),
 (('to', 'the'), 85),
 (('as', 'i'), 78),
 (('of', 'a'), 73)]

在十个最频繁的词对中，有九个是由两个停用词组成的，只有一个与“the time”有关。再进一步看看三元语法的频率是否表现出相同的行为方式。

trigram_tokens = [triple for triple in zip(
    corpus[:-2], corpus[1:-1], corpus[2:])]
trigram_vocab = d2l.Vocab(trigram_tokens)
trigram_vocab.token_freqs[:10]

[(('the', 'time', 'traveller'), 59),
 (('the', 'time', 'machine'), 30),
 (('the', 'medical', 'man'), 24),
 (('it', 'seemed', 'to'), 16),
 (('it', 'was', 'a'), 15),
 (('here', 'and', 'there'), 15),
 (('seemed', 'to', 'me'), 14),
 (('i', 'did', 'not'), 14),
 (('i', 'saw', 'the'), 13),
 (('i', 'began', 'to'), 13)]

直观地对比三种模型中的词元频率: 一元语法、二元语法和三元语法。

bigram_freqs = [freq for token, freq in bigram_vocab.token_freqs]
trigram_freqs = [freq for token, freq in trigram_vocab.token_freqs]
d2l.plot([freqs, bigram_freqs, trigram_freqs], xlabel='token: x',
         ylabel='frequency: n(x)', xscale='log', yscale='log',
         legend=['unigram', 'bigram', 'trigram'])

除了一元语法词，单词序列似乎也遵循齐普夫定律，尽管公式齐普夫定律中的指数α更小（指数的大小受序列长度的影响）；
词表中n元组的数量并没有那么大，这说明语言中存在相当多的结构，这些结构给了应用模型来学习的希望；
很多n元组很少出现，这使得拉普拉斯平滑非常不适合语言建模。

2.5 读取长序列数据

由于序列数据本质上是连续的，因此在处理数据时需要解决这个问题。在序列模型中章节中写了一种方式做到了这一点：当序列变得太长而不能被模型一次性全部处理时，对序列进行拆分方便模型读取。

假设使用神经网络来训练语言模型，模型中的网络一次处理具有预定义长度（例如n个时间步）的一个小批量序列。现在的问题是如何[随机生成一个小批量数据的特征和标签以供读取。]

首先，由于文本序列可以是任意长的，于是任意长的序列可以被划分为具有相同时间步数的子序列。当训练神经网络时，这样的小批量子序列将被输入到模型中。假设网络一次只处理具有n个时间步的子序列。下图画出了从原始文本序列获得子序列的所有不同的方式，其中n = 5，并且每个时间步的词元对应于一个字符。

可以选择任意偏移量来指示初始位置。如果只选择一个偏移量，那么用于训练网络的、所有可能的子序列的覆盖范围将是有限的。因此，可以从随机偏移量开始划分序列，以同时获得覆盖性（coverage）和随机性（randomness）。

2.5.1 随机采样

在随机采样中，每个样本都是在原始的长序列上任意捕获的子序列。在迭代过程中，来自两个相邻的、随机的、小批量中的子序列不一定在原始序列上相邻。对于语言建模，目标是基于到目前为止看到的词元来预测下一个词元，因此标签是移位了一个词元的原始序列。

下面的代码每次可以从数据中随机生成一个小批量。在这里，参数batch_size指定了每个小批量中子序列样本的数目，参数num_steps是每个子序列中预定义的时间步数。

import random
import torch

def seq_data_iter_random(corpus, batch_size, num_steps):  #@save
    """使用随机抽样生成一个小批量子序列"""
    # 从随机偏移量开始对序列进行分区，随机范围包括num_steps-1
    corpus = corpus[random.randint(0, num_steps - 1):]
    # 减去1，是因为我们需要考虑标签
    num_subseqs = (len(corpus) - 1) // num_steps
    # 长度为num_steps的子序列的起始索引
    initial_indices = list(range(0, num_subseqs * num_steps, num_steps))
    # 在随机抽样的迭代过程中，
    # 来自两个相邻的、随机的、小批量中的子序列不一定在原始序列上相邻
    random.shuffle(initial_indices)

    def data(pos):
        # 返回从pos位置开始的长度为num_steps的序列
        return corpus[pos: pos + num_steps]

    num_batches = num_subseqs // batch_size
    for i in range(0, batch_size * num_batches, batch_size):
        # 在这里，initial_indices包含子序列的随机起始索引
        initial_indices_per_batch = initial_indices[i: i + batch_size]
        X = [data(j) for j in initial_indices_per_batch]
        Y = [data(j + 1) for j in initial_indices_per_batch]
        yield torch.tensor(X), torch.tensor(Y)

生成一个从0到34的序列。假设批量大小为2，时间步数为5，可以生成⌊(35 − 1)/5⌋ = 6个“特征－标签”子序列对。如果设置小批量大小为2，只能得到3个小批量。

1
2
3

my_seq = list(range(35))
for X, Y in seq_data_iter_random(my_seq, batch_size=2, num_steps=5):
    print('X: ', X, '\nY:', Y)

X:  tensor([[21, 22, 23, 24, 25],
        [ 6,  7,  8,  9, 10]]) 
Y: tensor([[22, 23, 24, 25, 26],
        [ 7,  8,  9, 10, 11]])
X:  tensor([[11, 12, 13, 14, 15],
        [16, 17, 18, 19, 20]]) 
Y: tensor([[12, 13, 14, 15, 16],
        [17, 18, 19, 20, 21]])
X:  tensor([[26, 27, 28, 29, 30],
        [ 1,  2,  3,  4,  5]]) 
Y: tensor([[27, 28, 29, 30, 31],
        [ 2,  3,  4,  5,  6]])

2.5.2 顺序分区

在迭代过程中，除了对原始序列可以随机抽样外，还可以保证两个相邻的小批量中的子序列在原始序列上也是相邻的。这种策略在基于小批量的迭代过程中保留了拆分的子序列的顺序，因此称为顺序分区。

def seq_data_iter_sequential(corpus, batch_size, num_steps): 
    """使用顺序分区生成一个小批量子序列"""
    # 从随机偏移量开始划分序列
    offset = random.randint(0, num_steps)
    num_tokens = ((len(corpus) - offset - 1) // batch_size) * batch_size
    Xs = torch.tensor(corpus[offset: offset + num_tokens])
    Ys = torch.tensor(corpus[offset + 1: offset + 1 + num_tokens])
    Xs, Ys = Xs.reshape(batch_size, -1), Ys.reshape(batch_size, -1)
    num_batches = Xs.shape[1] // num_steps
    for i in range(0, num_steps * num_batches, num_steps):
        X = Xs[:, i: i + num_steps]
        Y = Ys[:, i: i + num_steps]
        yield X, Y

基于相同的设置，通过顺序分区读取每个小批量的子序列的特征X和标签Y。通过将它们打印出来可以发现：迭代期间来自两个相邻的小批量中的子序列在原始序列中确实是相邻的。

1 2	`for X, Y in seq_data_iter_sequential(my_seq, batch_size=2, num_steps=5): print('X: ', X, '\nY:', Y)`

X:  tensor([[ 5,  6,  7,  8,  9],
        [19, 20, 21, 22, 23]]) 
Y: tensor([[ 6,  7,  8,  9, 10],
        [20, 21, 22, 23, 24]])
X:  tensor([[10, 11, 12, 13, 14],
        [24, 25, 26, 27, 28]]) 
Y: tensor([[11, 12, 13, 14, 15],
        [25, 26, 27, 28, 29]])

定义了一个函数load_data_time_machine，它同时返回数据迭代器和词表。方便后续的模型训练时使用。


class SeqDataLoader: 
    """加载序列数据的迭代器"""
    def __init__(self, batch_size, num_steps, use_random_iter, max_tokens):
        if use_random_iter:
            self.data_iter_fn = seq_data_iter_random
        else:
            self.data_iter_fn = seq_data_iter_sequential
        self.corpus, self.vocab = load_corpus_time_machine(max_tokens)
        self.batch_size, self.num_steps = batch_size, num_steps

    def __iter__(self):
        return self.data_iter_fn(self.corpus, self.batch_size, self.num_steps)

def load_data_time_machine(batch_size, num_steps,
                           use_random_iter=False, max_tokens=10000):
    """返回时光机器数据集的迭代器和词表"""
    data_iter = SeqDataLoader(
        batch_size, num_steps, use_random_iter, max_tokens)
    return data_iter, data_iter.vocab

三、RNN

在n元语法模型中，其中单词x_t在时间步t的条件概率仅取决于前面n − 1个单词。对于时间步t − (n − 1)之前的单词，如果想将其可能产生的影响合并到x_t上，需要增加n，然而模型参数的数量也会随之呈指数增长，因为词表𝒱需要存储|𝒱|ⁿ个数字，因此与其将P(x_t ∣ x_t − 1, …, x_{t − n + 1})模型化，不如使用隐变量模型：

P(x_t ∣ x_t − 1, …, x₁) ≈ P(x_t ∣ h_t − 1),

其中h_t − 1是隐状态（hidden state），也称为隐藏变量（hidden variable），它存储了到时间步t − 1的序列信息。通常，可以基于当前输入x_t和先前隐状态h_t − 1来计算时间步t处的任何时间的隐状态：

h_t = f(x_t, h_t − 1).

对于上式中的函数f，隐变量模型不是近似值。毕竟h_t是可以仅仅存储到目前为止观察到的所有数据，然而这样的操作可能会使计算和存储的代价都变得昂贵。

多层感知机具有隐藏单元的隐藏层。值得注意的是，隐藏层和隐状态指的是两个截然不同的概念。如上所述，隐藏层是在从输入到输出的路径上（以观测角度来理解）的隐藏的层，而隐状态则是在给定步骤所做的任何事情（以技术角度来定义）的输入，并且这些状态只能通过先前时间步的数据来计算。

循环神经网络（recurrent neural networks，RNNs）是具有隐状态的神经网络。

3.1 无隐状态的神经网络

看一下只有单隐藏层的多层感知机。设隐藏层的激活函数为ϕ，给定一个小批量样本X ∈ ℝ^n × d，其中批量大小为n，输入维度为d，则隐藏层的输出H ∈ ℝ^n × h通过下式计算：

H = ϕ(XW_xh + b_h).

在公式中，拥有的隐藏层权重参数为W_xh ∈ ℝ^d × h，偏置参数为b_h ∈ ℝ^1 × h，以及隐藏单元的数目为h。因此求和时可以应用广播机制。接下来，将隐藏变量H用作输出层的输入。输出层由下式给出：

O = HW_hq + b_q,

其中，O ∈ ℝ^n × q是输出变量，W_hq ∈ ℝ^h × q是权重参数，b_q ∈ ℝ^1 × q是输出层的偏置参数。如果是分类问题，可以用softmax(O)来计算输出类别的概率分布。

3.2 有隐状态的循环神经网络

有了隐状态后，情况就完全不同了。假设在时间步t有小批量输入X_t ∈ ℝ^n × d。换言之，对于n个序列样本的小批量，X_t的每一行对应于来自该序列的时间步t处的一个样本。接下来，用H_t ∈ ℝ^n × h表示时间步t的隐藏变量。与多层感知机不同的是，在这里保存了前一个时间步的隐藏变量H_t − 1，并引入了一个新的权重参数W_hh ∈ ℝ^h × h，来描述如何在当前时间步中使用前一个时间步的隐藏变量。具体地说，当前时间步隐藏变量由当前时间步的输入与前一个时间步的隐藏变量一起计算得出：

H_t = ϕ(X_tW_xh + H_t − 1W_hh + b_h).

与无隐状态的神经网络相比，这里多添加了一项H_t − 1W_hh，从而实例化了隐藏变量。从相邻时间步的隐藏变量H_t和H_t − 1之间的关系可知，这些变量捕获并保留了序列直到其当前时间步的历史信息，就如当前时间步下神经网络的状态或记忆，因此这样的隐藏变量被称为隐状态（hidden state）。由于在当前时间步中，隐状态使用的定义与前一个时间步中使用的定义相同，因此上述公式的计算是循环的（recurrent）。于是基于循环计算的隐状态神经网络被命名为循环神经网络（recurrent neural network）。在循环神经网络中执行计算的层称为循环层（recurrent layer）。

对于时间步t，输出层的输出类似于多层感知机中的计算：

O_t = H_tW_hq + b_q.

循环神经网络的参数包括隐藏层的权重W_xh ∈ ℝ^d × h, W_hh ∈ ℝ^h × h和偏置b_h ∈ ℝ^1 × h，以及输出层的权重W_hq ∈ ℝ^h × q和偏置b_q ∈ ℝ^1 × q。值得一提的是，即使在不同的时间步，循环神经网络也总是使用这些模型参数。因此，循环神经网络的参数开销不会随着时间步的增加而增加。

下图展示了循环神经网络在三个相邻时间步的计算逻辑。在任意时间步t，隐状态的计算可以被视为：

拼接当前时间步t的输入X_t和前一时间步t − 1的隐状态H_t − 1；
将拼接的结果送入带有激活函数ϕ的全连接层。全连接层的输出是当前时间步t的隐状态H_t。

模型参数是W_xh和W_hh的拼接，以及b_h的偏置。当前时间步t的隐状态H_t将参与计算下一时间步t + 1的隐状态H_t + 1。而且H_t还将送入全连接输出层，用于计算当前时间步t的输出O_t。

隐状态中X_tW_xh + H_t − 1W_hh的计算，相当于X_t和H_t − 1的拼接与W_xh和W_hh的拼接的矩阵乘法。虽然这个性质可以通过数学证明，但在下面使用一个简单的代码来说明一下。首先，定义矩阵X、W_xh、H和W_hh，它们的形状分别为(3，1)、(1，4)、(3，4)和(4，4)。分别将X乘以W_xh，将H乘以W_hh，然后将这两个乘法相加，得到一个形状为(3，4)的矩阵。

1
2
3

X, W_xh = torch.normal(0, 1, (3, 1)), torch.normal(0, 1, (1, 4))
H, W_hh = torch.normal(0, 1, (3, 4)), torch.normal(0, 1, (4, 4))
torch.matmul(X, W_xh) + torch.matmul(H, W_hh)

1
2
3

tensor([[ 1.5601,  0.1154, -3.8533,  0.0946],
        [ 0.1193,  2.2245,  6.5468, -0.9052],
        [-4.0902,  3.9704, -1.7998,  3.6591]])

沿列（轴1）拼接矩阵X和H，沿行（轴0）拼接矩阵W_xh和W_hh。这两个拼接分别产生形状(3, 5)和形状(5, 4)的矩阵。再将这两个拼接的矩阵相乘，会得到与上面相同形状(3, 4)的输出矩阵。

1	`torch.matmul(torch.cat((X, H), 1), torch.cat((W_xh, W_hh), 0))`

1
2
3

tensor([[ 1.5601,  0.1154, -3.8533,  0.0946],
        [ 0.1193,  2.2245,  6.5468, -0.9052],
        [-4.0902,  3.9704, -1.7998,  3.6591]])

3.3 基于循环神经网络的字符级语言模型

语言模型，的目标是根据过去的和当前的词元预测下一个词元，因此将原始序列移位一个词元作为标签。看一下如何使用循环神经网络来构建语言模型。设小批量大小为1，批量中的文本序列为“machine”。为了简化后续部分的训练，考虑使用字符级语言模型（character-level language model），将文本词元化为字符而不是单词。如何通过基于字符级语言建模的循环神经网络，使用当前的和先前的字符预测下一个字符。

基于循环神经网络的字符级语言模型：输入序列和标签序列分别为“machin”和“achine”

在训练过程中，对每个时间步的输出层的输出进行softmax操作，然后利用交叉熵损失计算模型输出和标签之间的误差。由于隐藏层中隐状态的循环计算，图中的第3个时间步的输出O₃由文本序列“m”“a”和“c”确定。由于训练数据中这个文本序列的下一个字符是“h”，因此第3个时间步的损失将取决于下一个字符的概率分布，而下一个字符是基于特征序列“m”“a”“c”和这个时间步的标签“h”生成的。

在实践中，使用的批量大小为n > 1，每个词元都由一个d维向量表示。因此，在时间步t输入X_t将是一个n × d矩阵。

3.4 困惑度（Perplexity）

可以通过一个序列中所有的n个词元的交叉熵损失的平均值来衡量：

其中P由语言模型给出，x_t是在时间步t从该序列中观察到的实际词元。这使得不同长度的文档的性能具有了可比性。由于历史原因，自然语言处理的科学家更喜欢使用一个叫做困惑度（perplexity）的量。简而言之，它是上述公式的指数：

困惑度的最好的理解是“下一个词元的实际选择数的调和平均数”。

在最好的情况下，模型总是完美地估计标签词元的概率为1。在这种情况下，模型的困惑度为1。
在最坏的情况下，模型总是预测标签词元的概率为0。在这种情况下，困惑度是正无穷大。
在基线上，该模型的预测是词表的所有可用词元上的均匀分布。在这种情况下，困惑度等于词表中唯一词元的数量。

3.5 梯度裁剪

对于长度为T的序列，在迭代中计算这T个时间步上的梯度，将会在反向传播过程中产生长度为𝒪(T)的矩阵乘法链。当T较大时，它可能导致数值不稳定，可能导致梯度爆炸或梯度消失。因此，循环神经网络模型往往需要额外的方式来支持稳定训练。

一般来说，当解决优化问题时，对模型参数采用更新步骤。假定在向量形式的x中，或者在小批量数据的负梯度g方向上。例如，使用η > 0作为学习率时，在一次迭代中，将x更新为x − ηg。如果进一步假设目标函数f表现良好，即函数f在常数L下是利普希茨连续的（Lipschitz continuous）。也就是说，对于任意x和y有：

|f(x) − f(y)| ≤ L∥x − y∥.

在这种情况下，可以安全地假设：如果通过ηg更新参数向量，则

|f(x) − f(x − ηg)| ≤ Lη∥g∥,

这意味着不会观察到超过Lη∥g∥的变化。坏的方面，它限制了取得进展的速度；好的方面，它限制了事情变糟的程度，尤其当我们朝着错误的方向前进时。

有时梯度可能很大，从而优化算法可能无法收敛。可以通过降低η的学习率来解决这个问题。但是如果很少得到大的梯度呢？在这种情况下，这种做法似乎毫无道理。一个流行的替代方案是通过将梯度g投影回给定半径（例如θ）的球来裁剪梯度g。如下式：

通过这样做，梯度范数永远不会超过θ，并且更新后的梯度完全与g的原始方向对齐。它还有一个作用，即限制任何给定的小批量数据（以及其中任何给定的样本）对参数向量的影响，这赋予了模型一定程度的稳定性。梯度裁剪提供了一个快速修复梯度爆炸的方法，虽然它并不能完全解决问题，但它是众多有效的技术之一。

def grad_clipping(net, theta):
    """裁剪梯度"""
    if isinstance(net, nn.Module):
        params = [p for p in net.parameters() if p.requires_grad]
    else:
        params = net.params
    norm = torch.sqrt(sum(torch.sum((p.grad ** 2)) for p in params))
    if norm > theta:
        for param in params:
            param.grad[:] *= theta / norm

3.6 代码实现

定义模型

构造一个具有256个隐藏单元的单隐藏层的循环神经网络层rnn_layer

import torch
from torch import nn
import math
from torch.nn import functional as F
from d2l import torch as d2l

batch_size, num_steps = 32, 35
train_iter, vocab = load_data_time_machine(batch_size, num_steps)

num_hiddens = 256
rnn_layer = nn.RNN(len(vocab), num_hiddens)

使用张量来初始化隐状态，它的形状是（隐藏层数，批量大小，隐藏单元数）。通过一个隐状态和一个输入，我们就可以用更新后的隐状态计算输出。需要强调的是，rnn_layer的“输出”（Y）不涉及输出层的计算：它是指每个时间步的隐状态，这些隐状态可以用作后续输出层的输入。

state = torch.zeros((1, batch_size, num_hiddens)) #torch.Size([1, 32, 256])
X = torch.rand(size=(num_steps, batch_size, len(vocab)))
Y, state_new = rnn_layer(X, state)
Y.shape, state_new.shape #(torch.Size([35, 32, 256]), torch.Size([1, 32, 256]))

循环神经网络模型定义

class RNNModel(nn.Module):
    """循环神经网络模型"""
    def __init__(self, rnn_layer, vocab_size, **kwargs):
        super(RNNModel, self).__init__(**kwargs)
        self.rnn = rnn_layer
        self.vocab_size = vocab_size
        self.num_hiddens = self.rnn.hidden_size
        # 如果RNN是双向的（之后将介绍），num_directions应该是2，否则应该是1
        if not self.rnn.bidirectional:
            self.num_directions = 1
            self.linear = nn.Linear(self.num_hiddens, self.vocab_size)
        else:
            self.num_directions = 2
            self.linear = nn.Linear(self.num_hiddens * 2, self.vocab_size)

    def forward(self, inputs, state):
        X = F.one_hot(inputs.T.long(), self.vocab_size)
        X = X.to(torch.float32)
        Y, state = self.rnn(X, state)
        # 全连接层首先将Y的形状改为(时间步数*批量大小,隐藏单元数)
        # 它的输出形状是(时间步数*批量大小,词表大小)。
        output = self.linear(Y.reshape((-1, Y.shape[-1])))
        return output, state

    def begin_state(self, device, batch_size=1):
        if not isinstance(self.rnn, nn.LSTM):
            # nn.GRU以张量作为隐状态
            return  torch.zeros((self.num_directions * self.rnn.num_layers,
                                 batch_size, self.num_hiddens),
                                device=device)
        else:
            # nn.LSTM以元组作为隐状态
            return (torch.zeros((
                self.num_directions * self.rnn.num_layers,
                batch_size, self.num_hiddens), device=device),
                    torch.zeros((
                        self.num_directions * self.rnn.num_layers,
                        batch_size, self.num_hiddens), device=device))

训练与预测

预测

def predict8(prefix, num_preds, net, vocab, device):  #@save
    """在prefix后面生成新字符"""
    state = net.begin_state(batch_size=1, device=device)
    outputs = [vocab[prefix[0]]]
    get_input = lambda: torch.tensor([outputs[-1]], device=device).reshape((1, 1))
    for y in prefix[1:]:  # 预热期
        _, state = net(get_input(), state)
        outputs.append(vocab[y])
    for _ in range(num_preds):  # 预测num_preds步
        y, state = net(get_input(), state)
        outputs.append(int(y.argmax(dim=1).reshape(1)))
    return ''.join([vocab.idx_to_token[i] for i in outputs])

训练

def train_epoch8(net, train_iter, loss, updater, device, use_random_iter):
    """训练网络一个迭代周期"""
    state, timer = None, d2l.Timer()
    metric = d2l.Accumulator(2)  # 训练损失之和,词元数量
    for X, Y in train_iter:
        if state is None or use_random_iter:
            # 在第一次迭代或使用随机抽样时初始化state
            state = net.begin_state(batch_size=X.shape[0], device=device)
        else:
            if isinstance(net, nn.Module) and not isinstance(state, tuple):
                # state对于nn.GRU是个张量
                state.detach_()
            else:
                # state对于nn.LSTM或对于我们从零开始实现的模型是个张量
                for s in state:
                    s.detach_()
        y = Y.T.reshape(-1)
        X, y = X.to(device), y.to(device)
        y_hat, state = net(X, state)
        l = loss(y_hat, y.long()).mean()
        if isinstance(updater, torch.optim.Optimizer):
            updater.zero_grad()
            l.backward()
            grad_clipping(net, 1)
            updater.step()
        else:
            l.backward()
            grad_clipping(net, 1)
            # 因为已经调用了mean函数
            updater(batch_size=1)
        metric.add(l * y.numel(), y.numel())
    return math.exp(metric[0] / metric[1]), metric[1] / timer.stop()

def train8(net, train_iter, vocab, lr, num_epochs, device,
              use_random_iter=False):
    """训练模型"""
    loss = nn.CrossEntropyLoss()
    animator = d2l.Animator(xlabel='epoch', ylabel='perplexity',
                            legend=['train'], xlim=[10, num_epochs])
    # 初始化
    updater = torch.optim.SGD(net.parameters(), lr)
    predict = lambda prefix: predict8(prefix, 50, net, vocab, device)
    # 训练和预测
    for epoch in range(num_epochs):
        ppl, speed = train_epoch8(
            net, train_iter, loss, updater, device, use_random_iter)
        if (epoch + 1) % 10 == 0:
            print(predict('time traveller'))
            animator.add(epoch + 1, [ppl])
    print(f'困惑度 {ppl:.1f}, {speed:.1f} 词元/秒 {str(device)}')
    print(predict('time traveller'))
    print(predict('traveller'))

初始化网络并训练

device = try_gpu()
net = RNNModel(rnn_layer, vocab_size=len(vocab))
net = net.to(device)
num_epochs, lr = 500, 1
train8(net, train_iter, vocab, lr, num_epochs, device)

1
2
3

困惑度 1.3, 1240132.1 词元/秒 cuda:0
time traveller proceeded anyreatt asy munstarsmidt an there it e
traveller ffolediment and the ithe menter and toryuu thepe

四、通过时间反向传播

循环神经网络中的前向传播相对简单。通过时间反向传播（backpropagation through time，BPTT）实际上是循环神经网络中反向传播技术的一个特定应用。它要求将循环神经网络的计算图一次展开一个时间步，以获得模型变量和参数之间的依赖关系。然后，基于链式法则，应用反向传播来计算和存储梯度。由于序列可能相当长，因此依赖关系也可能相当长。例如，某个1000个字符的序列，其第一个词元可能会对最后位置的词元产生重大影响。这在计算上是不可行的（它需要的时间和内存都太多了），并且还需要超过1000个矩阵的乘积才能得到非常难以捉摸的梯度。这个过程充满了计算与统计的不确定性。

4.1 循环神经网络的梯度分析

简化模型，将时间步t的隐状态表示为h_t，输入表示为x_t，输出表示为o_t。输入和隐状态可以拼接后与隐藏层中的一个权重变量相乘。因此，分别使用w_h和w_o来表示隐藏层和输出层的权重。每个时间步的隐状态和输出可以写为：

其中f和g分别是隐藏层和输出层的变换。因此，可以得到一个链{…, (x_t − 1, h_t − 1, o_t − 1), (x_t, h_t, o_t), …}，它们通过循环计算彼此依赖。前向传播相当简单，一次一个时间步的遍历三元组(x_t, h_t, o_t)，然后通过一个目标函数在所有T个时间步内评估输出o_t和对应的标签y_t之间的差异：

对于反向传播，问题则有点棘手，特别是当计算目标函数L关于参数w_h的梯度时。具体来说，按照链式法则：

在上式中乘积的第一项和第二项很容易计算，而第三项∂h_t/∂w_h是使事情变得棘手的地方，因为需要循环地计算参数w_h对h_t的影响。根据每个时间步的隐状态和输出中的递归计算，h_t既依赖于h_t − 1又依赖于w_h，其中h_t − 1的计算也依赖于w_h。因此，使用链式法则产生：

为了导出上述梯度，假设我们有三个序列{a_t}, {b_t}, {c_t}，当t = 1, 2, …时，序列满足a₀ = 0且a_t = b_t + c_ta_t − 1。对于t ≥ 1，就很容易得出：

基于下列公式替换a_t、b_t和c_t：

在公式(4)中的梯度计算满足a_t = b_t + c_ta_t − 1。因此，对于每个公式(5)，可以使用下面的公式移除(4)中的循环计算

虽然可以使用链式法则递归地计算∂h_t/∂w_h，但当t很大时这个链就会变得很长。

4.1.1 完全计算

显然，可以仅仅计算公式(7)中的全部总和，然而，这样的计算非常缓慢，并且可能会发生梯度爆炸，因为初始条件的微小变化就可能会对结果产生巨大的影响。也就是说，可以观察到类似于蝴蝶效应的现象，即初始条件的很小变化就会导致结果发生不成比例的变化。这对于想要估计的模型而言是非常不可取的。毕竟，正在寻找的是能够很好地泛化高稳定性模型的估计器。因此，在实践中，这种方法几乎从未使用过。

4.1.2 截断时间步

或者，可以在τ步后截断公式(7)中的求和计算。那么求的是真实梯度的近似，只需将求和终止为∂h_t − τ/∂w_h。在实践中，这种方式工作得很好。它通常被称为截断的通过时间反向传播。这样做导致该模型主要侧重于短期影响，而不是长期影响。这在现实中是可取的，因为它会将估计值偏向更简单和更稳定的模型。

4.1.3 随机截断

最后，可以用一个随机变量替换∂h_t/∂w_h，该随机变量在预期中是正确的，但是会截断序列。这个随机变量是通过使用序列ξ_t来实现的，序列预定义了0 ≤ π_t ≤ 1，其中P(ξ_t = 0) = 1 − π_t且P(ξ_t = π_t⁻¹) = π_t，因此E[ξ_t] = 1。使用它来替换公式(4)中的梯度∂h_t/∂w_h得到：

从ξ_t的定义中推导出来E[z_t] = ∂h_t/∂w_h。每当ξ_t = 0时，递归计算终止在这个t时间步。这导致了不同长度序列的加权和，其中长序列出现的很少，所以将适当地加大权重。

4.1.4 比较策略

上图说明了当基于循环神经网络使用通过时间反向传播分析《时间机器》书中前几个字符的三种策略：

第一行采用随机截断，方法是将文本划分为不同长度的片断；
第二行采用常规截断，方法是将文本分解为相同长度的子序列。这也是在循环神经网络实验中一直在做的；
第三行采用通过时间的完全反向传播，结果是产生了在计算上不可行的表达式。

遗憾的是，虽然随机截断在理论上具有吸引力，但很可能是由于多种因素在实践中并不比常规截断更好。首先，在对过去若干个时间步经过反向传播后，观测结果足以捕获实际的依赖关系。其次，增加的方差抵消了时间步数越多梯度越精确的事实。第三，真正想要的是只有短范围交互的模型。因此，模型需要的正是截断的通过时间反向传播方法所具备的轻度正则化效果。

4.2 通过时间反向传播的细节

与循环神经网络的梯度分析不同，下面展示如何计算目标函数相对于所有分解模型参数的梯度。为了保持简单，考虑一个没有偏置参数的循环神经网络，其在隐藏层中的激活函数使用恒等映射（ϕ(x) = x）。对于时间步t，设单个样本的输入及其对应的标签分别为x_t ∈ ℝ^d和y_t。计算隐状态h_t ∈ ℝ^h和输出o_t ∈ ℝ^q的方式为：

其中权重参数为W_hx ∈ ℝ^h × d、W_hh ∈ ℝ^h × h和W_qh ∈ ℝ^q × h。用l(o_t, y_t)表示时间步t处（即从序列开始起的超过T个时间步）的损失函数，则目标函数的总体损失是：

为了在循环神经网络的计算过程中可视化模型变量和参数之间的依赖关系，可以为模型绘制一个计算图，如下图所示。例如，时间步3的隐状态h₃的计算取决于模型参数W_hx和W_hh，以及最终时间步的隐状态h₂以及当前时间步的输入x₃。

上图表示具有三个时间步的循环神经网络模型依赖关系的计算图。未着色的方框表示变量，着色的方框表示参数，圆表示运算符

正如刚才所说，上图中的模型参数是W_hx、W_hh和W_qh。通常，训练该模型需要对这些参数进行梯度计算：∂L/∂W_hx、∂L/∂W_hh和∂L/∂W_qh。根据图中的依赖关系，可以沿箭头的相反方向遍历计算图，依次计算和存储梯度。为了灵活地表示链式法则中不同形状的矩阵、向量和标量的乘法，继续使用prod运算符。

首先，在任意时间步t，目标函数关于模型输出的微分计算是相当简单的：

现在，可以计算目标函数关于输出层中参数W_qh的梯度：∂L/∂W_qh ∈ ℝ^q × h。基于上图，目标函数L通过o₁, …, o_T依赖于W_qh。依据链式法则，得到

其中∂L/∂o_t是由公式(9)给出的。

接下来，如上图所示，在最后的时间步T，目标函数L仅通过o_T依赖于隐状态h_T。因此，通过使用链式法可以很容易地得到梯度∂L/∂h_T ∈ ℝ^h：

当目标函数L通过h_t + 1和o_t依赖h_t时，对任意时间步t < T来说都变得更加棘手。根据链式法则，隐状态的梯度∂L/∂h_t ∈ ℝ^h在任何时间步骤t < T时都可以递归地计算为：

为了进行分析，对于任何时间步1 ≤ t ≤ T展开递归计算得

可以从公式(12)中看到，这个简单的线性例子已经展现了长序列模型的一些关键问题：它陷入到W_hh^⊤的潜在的非常大的幂。在这个幂中，小于1的特征值将会消失，大于1的特征值将会发散。这在数值上是不稳定的，表现形式为梯度消失或梯度爆炸。解决此问题的一种方法是按照计算方便的需要截断时间步长的尺寸。实际上，这种截断是通过在给定数量的时间步之后分离梯度来实现的。

最后，上图表明：目标函数L通过隐状态h₁, …, h_T依赖于隐藏层中的模型参数W_hx和W_hh。为了计算有关这些参数的梯度∂L/∂W_hx ∈ ℝ^h × d和∂L/∂W_hh ∈ ℝ^h × h，应用链式规则得：